이달의 문제

다음을 나누는 가장 작은 소수는 무엇 일까요?
(13 × 17) + (19 × 23)

정답: 2
<방법1. 전략: 예측하기>
수학적인 계산 없이 주어진 숫자 값에 대해서 알 수 있는 내용은 무엇일까요?
어떤 두 홀수의 곱은 홀수 이고, 두 홀수의 합은 짝수입니다.
따라서 (13 × 17) + (19 × 23)의 값은 짝수 입니다. (홀수+홀수=짝수 이므로)
모든 짝수는 2로 나누어 지며, 2는 가장 작은 소수 입니다.
주어진 식을 나누는 가장 작은 소수는 2 입니다.

<방법2. 전략: 산술계산 후에 인수분해하기>
(13 × 17) + (19 × 23) = 221 + 437 = 658입니다. 이때658= 2 × 7 × 47 입니다 (인수분해)
물론 인수가 2인 것을 알게 되면 그 합을 나누는 가장 작은 소수는 2이므로, 추가적으로 인수분해 할 필요는 없습니다.

FOLLOW-UPS:
(1) (17 × 13) + (17 × 23)을 나누는 가장 큰 소수는 무엇일까요? [17]
(2) (17 × 25) + (17 × 20) + (17 × 12)을 나누는 가장 큰 소수는 무엇일까요? [19] (수식= 17 × 57)
(3) (14 × 31) – (7 × 17)을 나누는 소수는 무엇일까요? [7, 5, 3] (14 × 31 = 7 × 62이므로)

— 번 역 —
어떤 놀이 공원에서 원형 관람차의 자동차의 바퀴 둘레는 똑 같은 규격으로 되어있습니다. 자동차에는 1부터 시작하여 연속적으로 번호가 매겨져 있습니다. 그리고 14번 자동차와 30번 자동차는 원의 지름에서 서로 맞은편 방향에 놓여있습니다. 이때 원형 관람차에는 몇 개의 자동차들이 있을까요?

정답: 32

방법 1: 전략: 1번 자동차의 맞은편 자동차 번호를 찾으세요.
14번 자동차는 30번의 맞은편에 있기 때문에, 서로 맞은편 방향에 있는 임의의 어떤 두 자동차의 차이는 16임을 알 수 있습니다. 따라서 1번 자동차의 맞은편에 있는 자동차는 17번입니다. 1번과 17번 사이, 그리고 17번과 1번 사이에도 15개의 자동차가 있습니다. 따라서 15+15+2= 32이므로, 원형 관람차에는 32개의 자동차들이 있습니다.

방법 2: 전략: 자동차의 쌍의 수를 결정합니다.
서로 반대방향에 있는 임의의 두 자동차는 16차이가 납니다.
그러므로 관람차는 16개의 자동차 쌍을 가지고 있습니다. 따라서 32개의 자동차들이 있습니다.

방법 3: 전략: 가상의 자동차 “0”을 생각해보세요.
서로 반대방향에 있는 임의의 두 자동차는 16차이가 납니다. 그러므로 16번 자동차가 32번이나 “0”번 자동차의 맞은편 방향에 자리잡고 있습니다. 가장 작은 자동차번호의 숫자는 1이므로, 관람차에는 32개의 자동차들이 있습니다.

— 번 역 —

그림과 같이 직사각형 ABCD는 4개의 작은 사각형들으로 나눠집니다. 각 사각형에는 한쪽에는 전체 넓이가 나와 있습니다. 작은 3개의 사각형의 것은 표시되어 있습니다. 이때 큰 사각형 ABCD의 넓이는 얼마인가요?

정답: 184

방법: 전략: 작은 사각형들의 넓이에 대해서 생각해보세요.
사각형 AEJG는 넓이가21 sq cm이므로, 1cm 곱하기 21 cm 또는 3cm 곱하기 7 cm입니다. 사각형 GJFD는, 넓이가35 sq cm이므로, 1cm 곱하기 35 cm 또는 5cm 곱하기 7 cm입니다. 두 사각형의 공통적인 면인 GJ는 1cm 또는 7cm 입니다. 만약 GJ가 1cm라면, AG는 21cm가 됩니다. 그러나 21cm는 48sq cm 값을 구할 수 있는 요인이 아니며, 사각형 GJFD의 측면의 길이가 될 수 없습니다. 따라서 GJ = AE = DF = 7cm이며, AG = EJ = BH = 3cm입니다. 다음으로 EB = JH = FC = 48 ÷ 3 = 16cm이며, GD = JF = HC = 5cm입니다. 사각형 JHCF 넓이는 16 × 5 = 80 sp cm이고, 큰 사각형ABCD의 넓이는 21 + 35 + 48 + 80 = 184 sq cm입니다.

 

 

 

 

—- 번역 —–

< 문제 >

그림에서 보이는 바와 같이, 어떤 선 위에 점 P, Q, R이 있고, 다른 선 위에는 점 S, T, U, V가 있습니다.
점 P, Q, R, S, T, U, V중에서 3개를 꼭지점으로 하여 만들 수 있는 각기 다른 삼각형의 총 개수는 몇 개 입니까?
<방법1. 전략: 조직적인 방법으로 계산하기>
한 개의 꼭지점을 한 개의 선에서, 두 개의 꼭지점을 다른 선에서 사용합니다.

한 개의 꼭지점이 선1에 있고, 두 개의 꼭지점들이 선2에 있다고 가정합니다. 꼭지점P를 사용할 경우, PST, PSU, PSV, PTU, PTV, PUV와 같이 6개의 삼각형이 만들어 집니다. 같은 방법으로 꼭지점 Q를 사용할 경우 6개의 삼각형이 만들어지게 되고, 꼭지점R을 사용할 경우에도 6개의 삼각형이 더 만들어 져서 총 18개의 삼각형이 생깁니다.

이제 한 개의 꼭지점이 선2에 있고 두 개의 꼭지점들이 선1에 있다고 가정합니다. 꼭지점 S를 사용할 경우, SPQ, SPR, SQR과 같이 3개의 삼각형이 만들어 집니다. 같은 방법으로 꼭지점 T를 사용할 경우3개의 삼각형이, 꼭지점 U를 사용할 경우에도 3개의 삼각형이 더 생기고, 꼭지점 V를 사용할 경우 3개의 삼각형이 더 만들어 져서 총 12개의 삼각형이 생기게 됩니다.
모두 합쳐서, 3개의 점들을 꼭지점으로 사용하여서 30개의 삼각형이 형성됩니다.

 

<방법2. 전략(고급 수준의 학생들을 위한 방법): 조합이론을 사용하기>
선1에 있는 각각의 점3개의 경우, 4 C 2= 6 이므로 선1에서 6쌍의 점이 생기게 됩니다. 이러한 방법으로 18개의 삼각형을 구할 수 있습니다. 선2에 있는 각각의 점4개의 경우, 3 C 2=3 이므로 선2에서 3쌍의 점이 생깁니다. 이러한 방법으로 12개의 삼각형을 더 구할 수 있습니다. 따라서, 총 30개의 삼각형이 형성됩니다.
FOLLOW-UPS:
(1) 7개의 점들이 하나의 원 위에 있다고 가정해보세요.

꼭지점으로 3개의 점을 사용해서 몇 개의 삼각형들이 형성될 수 있습니까? [35] 

(2)”Creative Problem Solving in School Mathematics, 2nd Edition”의111~114쪽을 보세요.

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